4) Дано: ABCD — параллелограмм. На рисунке P — середина AD, BP — биссектриса угла B, ∠BPD = 50°. Найти: углы параллелограмма ABCD.

Так как A, P, D лежат на одной прямой, углы ∠BPA и ∠BPD смежные:

∠BPA = 180° − 50° = 130°.

В треугольнике ABP дано AP = PD, а BP — биссектриса угла B. По теореме о биссектрисе:

AP/PD = AB/BD, следовательно, AB = BD.

Из равенства AP = PD и общей высоты треугольников ABP и BPD к прямой AD следует, что их площади равны. С другой стороны, площади равны (1/2)·AB·BP·sin(∠ABP) и (1/2)·BD·BP·sin(∠PBD); так как AB = BD и ∠ABP = ∠PBD, это не даёт дополнительного ограничения на углы. Угол ∠BPD = 50° задаёт ∠BPA = 130°, но угол параллелограмма из этих данных однозначно не определяется: положение BP относительно AD зависит также от длины AB.

Ответ: данных недостаточно, чтобы однозначно найти углы параллелограмма. Нужна дополнительная связь, например длина AB или условие о параллельности/перпендикулярности сторон.