4. Дано: ABCD — прямоугольник, CD = 30. Найти PEFMN. На рисунке E, F, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно; угол между CD и CN равен 60°.

Пусть \(AD=BC=w\). Поскольку N — середина AD, горизонтальное расстояние от C до N равно \(w/2\), а вертикальное равно \(CD=30\). В прямоугольном треугольнике CDN:

\(\tan 60^\circ=\frac{w/2}{30}\), откуда \(w=60\sqrt{3}\).

Диагональ прямоугольника \(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(60\sqrt{3})^2+30^2}=30\sqrt{15}\).

Четырёхугольник EFMN образован серединами сторон прямоугольника. Каждая его сторона равна половине диагонали прямоугольника, поэтому его периметр равен удвоенной диагонали:

\(P_{EFMN}=2\cdot\frac{AC}{2}+2\cdot\frac{AC}{2}=2AC=60\sqrt{15}\).

Ответ: \(60\sqrt{15}\).