4. Дано: ABCD — ромб; E лежит на CD, F лежит на AD, DE = DF (по отметкам на чертеже). Доказать: ∠ABF = ∠CBE.

Рассмотрим треугольники BDA и BDC. У них BA = BC и DA = DC, поскольку ABCD — ромб, а BD — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Соответствующее вершинам A и C отображение при симметрии относительно BD переводит сторону DA в DC, а BA в BC. Так как DE = DF, точки E и F, лежащие соответственно на DC и DA, также переходят друг в друга при этой симметрии.

Поэтому луч BA переходит в BC, а BF — в BE. Симметрия сохраняет величину угла, значит ∠ABF = ∠CBE.

Доказано.