4) Дано: ABCD — трапеция; AD = 30; ∠ABC = 135°; ∠BCD = 90°; ∠CDB = 45°. Найти: BC.

Так как BC ∥ AD и ∠BCD = 90°, то CD перпендикулярна обеим основаниям. В треугольнике BCD угол C равен 90°, а угол D равен 45°, поэтому угол CBD тоже равен 45°. Следовательно, треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC = BD.

Угол ABC состоит из углов ABD и DBC, значит, ∠ABD = 135° − 45° = 90°. Кроме того, внутренние односторонние углы при AB в трапеции supplementary: ∠DAB = 180° − 135° = 45°.

Треугольник ABD прямоугольный, его гипотенуза AD = 30, а угол A равен 45°. Поэтому BD = 30·sin 45° = 15√2.

Из равенства BC = BD получаем BC = 15√2.

Ответ: BC = 15√2.