4. Дано: плоскости α и β пересекаются по прямой. Точки A и B принадлежат плоскости α, а точка C — плоскости β. Построить прямые пересечения плоскости ABC с плоскостями α и β.

Пусть \(D\) — точка пересечения прямой AB с линией пересечения плоскостей α и β.

1. Точки A и B принадлежат плоскости α и плоскости ABC. Поэтому общей прямой этих плоскостей является прямая AB: \((ABC)\cap\alpha=AB\).
2. Точка C принадлежит плоскости β и плоскости ABC.
3. Точка D принадлежит линии пересечения плоскостей α и β, поэтому D принадлежит плоскости β. Кроме того, D принадлежит прямой AB, а значит, плоскости ABC.
4. Через две общие точки C и D проходит общая прямая CD. Поэтому \((ABC)\cap\beta=CD\).

Ответ: \((ABC)\cap\alpha=AB\), \((ABC)\cap\beta=CD\), где \(D=AB\cap(\alpha\cap\beta)\).