№ 4. Дано: ΔPQR — равнобедренный, прямоугольный; MNPQ — квадрат; M ∈ PQ; Q ∈ PR; P ∈ QR; QR = 4 см. Найти: MN.

В условии расположение точек распознано неоднозначно: принадлежность точек сторонам треугольника не согласуется с обычной схемой квадрата. Если имеется в виду стандартная конфигурация: квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(QR=PR=4\) см, то:

Пусть \(MN=x\) — сторона квадрата. Свободный отрезок каждого катета равен \(4-x\). По подобию треугольников:

\(\dfrac{x}{4-x}=\dfrac{1}{\sqrt2}\).

Отсюда:

\(\sqrt2x=4-x\),
\(x(1+\sqrt2)=4\),
\(x=\dfrac{4}{1+\sqrt2}=4(\sqrt2-1)\) см.

Ответ при стандартной конфигурации: \(MN=4(\sqrt2-1)\) см.

Для однозначного решения по исходному рисунку нужен сам чертёж или уточнение, на каких сторонах треугольника лежат точки квадрата.