4. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A(-2;-3), B(-2; 5) и C(4; 5). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины D. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1) Построение прямоугольника:

Отметим точки A(-2;-3), B(-2; 5) и C(4; 5) на координатной плоскости. Обратим внимание, что точки A и B имеют одинаковые x-координаты, значит, сторона AB вертикальна. Точки B и C имеют одинаковые y-координаты, значит, сторона BC горизонтальна. Следовательно, это действительно вершины прямоугольника. Начертите прямоугольник ABCD, соединив точки.

2) Координаты вершины D:

Так как ABCD — прямоугольник, то вектор \(v\vec{AB} = v\vec{DC}\). Координаты \(v\vec{AB} = (-2 - (-2); 5 - (-3)) = (0; 8)\). Пусть координаты D равны \( (x_D; y_D) \). Тогда \(v\vec{DC} = (4 - x_D; 5 - y_D)\). Приравнивая соответствующие координаты, получаем: \( 4 - x_D = 0 \Rightarrow x_D = 4 \) и \( 5 - y_D = 8 \Rightarrow y_D = -3 \). Таким образом, координаты вершины D равны (4; -3).

3) Координаты точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой из диагоналей. Найдем середину диагонали AC:

\( M_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{-3 + 5}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}; \frac{2}{2}\right) = (1; 1) \).

4) Площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AB: \( |5 - (-3)| = 8 \) см.

Длина стороны BC: \( |4 - (-2)| = 6 \) см.

Площадь прямоугольника: \( S = AB \times BC = 8 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2 \).

Периметр прямоугольника: \( P = 2(AB + BC) = 2(8 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \times 14 \text{ см} = 28 \text{ см} \).

Ответ: 2) D(4; -3); 3) (1; 1); 4) Площадь 48 см², периметр 28 см.