4. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей O.

Найдём векторы соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}=(0-(-6);5-1)=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6-0;-4-5)=(6;-9)\).

Их скалярное произведение равно \(6\cdot6+4\cdot(-9)=36-36=0\), значит, стороны AB и BC перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, следовательно, ABCD — прямоугольник.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина AC:

\(O=\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0;-\frac32)\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; \(O(0;-\frac32)\).