4. Даны векторы \(\vec a=(2;−6;8)\) и \(\vec b=(−1;k;−4)\). При каком значении k векторы \(\vec a\) и \(\vec b\): 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

1) Коллинеарность. Если векторы коллинеарны, то \(\vec b=\lambda\vec a\). Из первой координаты \(-1=2\lambda\), поэтому \(\lambda=-\frac12\). Проверка по третьей координате: \(8\cdot(-\frac12)=-4\), условие выполняется. Тогда \(k=-6\cdot(-\frac12)=3\).

2) Перпендикулярность. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

\(\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-1)+(-6)k+8\cdot(-4)=-34-6k=0\).

\(k=-\frac{34}{6}=-\frac{17}{3}\).

Ответ: 1) \(k=3\); 2) \(k=-\frac{17}{3}\).