4. Диагональ параллелограмма разбили на три равные части. Докажите, что полученные точки деления и две другие его вершины образуют новый параллелограмм.

Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD разделена точками E и F на три равные части, причём точки расположены в порядке A, E, F, C.

В четырёхугольнике BEDF диагонали — EF и BD. Точка пересечения диагоналей исходного параллелограмма является серединой BD. Она также является серединой EF: диагональ AC делится этой точкой пополам, а E и F расположены на расстояниях AC/3 и 2AC/3 от A.

Значит, диагонали четырёхугольника BEDF делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма BEDF — параллелограмм.