4. Диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите отношение оснований трапеции, если её острый угол равен φ. (Рис.)

Пусть длины оснований трапеции равны \(a\) и \(b\), а высота равна \(h\). Горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна разности оснований, то есть \(|a-b|\).

Из прямоугольного треугольника у основания трапеции: \(\tan\varphi=\frac{h}{|a-b|}\), поэтому \(|a-b|=h\cot\varphi\).

Диагональ перпендикулярна наклонной боковой стороне. Их наклоны к основанию имеют тангенсы \(\frac{h}{|a-b|}\) и \(\frac{h}{a}\) (либо \(\frac{h}{b}\), в зависимости от того, какая диагональ проведена). Перпендикулярность означает, что произведение этих тангенсов равно 1. Следовательно, \(a|a-b|=h^2\) для диагонали, показанной на рисунке.

Подставляя \(|a-b|=h\cot\varphi\), получаем \(a=h\tan\varphi\). Тогда \(|a-b|=h\cot\varphi\), и отношение большего основания к меньшему равно \(\frac{\tan\varphi}{\cot\varphi}=\tan^2\varphi\), если \(a\) — меньшее основание; в обратном расположении отношение будет обратным.

На рисунке неразборчиво, к какой из двух боковых сторон относится условие о перпендикулярности диагонали: показана лишь схема без достаточно ясного указания, какая диагональ перпендикулярна наклонной стороне и какое основание считать числителем. Поэтому однозначно определить упорядоченное отношение оснований нельзя. При перпендикулярности диагонали наклонной боковой стороне отношение большего основания к меньшему равно \(\max(\tan^2\varphi,\cot^2\varphi)\).