4. Диагонали ромба пересекаются в точке O и равны 18 см и 26 см. Найти периметр ромба и периметр одного из получившихся треугольников, если один из углов, которые образует диагональ со стороной ромба, равен 60 градусов. Найти углы ромба.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей равны 9 см и 13 см, поэтому сторона ромба равна \(\sqrt{9^2+13^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\) см. Периметр ромба: \(4\cdot5\sqrt{10}=20\sqrt{10}\) см.

Любой из четырёх треугольников, образованных диагоналями, имеет стороны 9 см, 13 см и \(5\sqrt{10}\) см. Его периметр равен \(22+5\sqrt{10}\) см.

Условие об угле 60° противоречит длинам диагоналей. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, значит угол между диагональю и стороной 60° потребовал бы углы ромба 120° и 60°. Для такого ромба отношение диагоналей равно \(\sqrt{3}\), тогда как заданные диагонали дают отношение \(26/18=13/9\ne\sqrt{3}\).

Ответ: периметр ромба — \(20\sqrt{10}\) см; периметр одного из треугольников — \(22+5\sqrt{10}\) см. Углы ромба, согласующиеся с указанными диагоналями, — примерно 69,4° и 110,6° (по два каждого); одновременно выполнить условие об угле 60° невозможно.