4. Диагонали ромба пересекаются в точке [обозначение обрезано] и равны 12 см и 24 см. Найти периметр ромба и периметр одного из получившихся треугольников, если один из углов, который образует диагональ со стороной ромба, равен 60 градусов. Найти углы ромба.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Поэтому сторона ромба, вычисленная по половинам диагоналей, равна \(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt5\) см, а периметр — \(24\sqrt5\) см.

Периметр каждого из четырёх треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной, равен \(6+12+6\sqrt5=18+6\sqrt5\) см.

Однако условие о 60° противоречит указанным диагоналям: в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 12 угол между диагональю и стороной не равен 60°. Поэтому одновременно удовлетворяющего всем данным ромба не существует, и его углы по этому условию определить нельзя. Если использовать только длины диагоналей, углы ромба равны \(2\arctan(1/2)\) и \(180°-2\arctan(1/2)\), то есть приблизительно 53,1° и 126,9°.

Ответ: по диагоналям периметр ромба равен \(24\sqrt5\) см, периметр получившегося треугольника — \(18+6\sqrt5\) см; условие об угле 60° несовместимо с этими диагоналями.