4. Длина отрезка AB = 6 см. Внутри отрезка взята точка M. Найдите длину отрезка BM, если: а) AM = 2BM; б) 2AM = 3BM; в) AM : BM = 1 : 5; г) AM : BM = 3 : 4; д) AM − BM = 2; е) 2BM + 3AM = 14.

Во всех пунктах используем равенство AM + BM = AB = 6 см.

1. а) Пусть BM = x, тогда AM = 2x. Получаем 2x + x = 6, откуда x = 2.

   BM = 2 см.

2. б) Из 2AM = 3BM следует AM = 3BM/2. Тогда 3BM/2 + BM = 6, откуда BM = 12/5.

   BM = 2,4 см.

3. в) Отношение AM : BM = 1 : 5 означает, что весь отрезок составляет 6 равных частей. Одна часть равна 6/6 = 1 см, поэтому BM = 5 см.

   BM = 5 см.

4. г) Отношение AM : BM = 3 : 4 означает 7 равных частей. Одна часть равна 6/7 см, значит BM = 4 · 6/7 = 24/7 см.

   BM = 24/7 см.

5. д) Пусть AM = a и BM = b. Имеем a + b = 6 и a − b = 2. Складывая равенства, получаем 2a = 8, значит a = 4 и b = 2.

   BM = 2 см.

6. е) Пусть AM = a и BM = b. Тогда a + b = 6 и 3a + 2b = 14. Из первого равенства b = 6 − a. Подстановка даёт 3a + 2(6 − a) = 14, откуда a = 2 и b = 4.

   BM = 4 см.