4. Для заданной функции найдите область определения, нули функции, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения на отрезке [−6; 0], а также решите неравенство f(x) ≥ 0. Функция задана формулой: y = −(x − 8)/(x + 1). Постройте график функции.

Область определения: знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \(x+1\ne0\), то есть \(D(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}\).

Нуль функции получается при равенстве нулю числителя: \(x-8=0\), откуда \(x=8\).

Перепишем функцию: \(f(x)=-\frac{x-8}{x+1}=-1+\frac{9}{x+1}\). Тогда \(f'(x)=-\frac{9}{(x+1)^2}<0\) на каждом промежутке области определения. Следовательно, функция убывает на \((-\infty,-1)\) и \((-1,+\infty)\), промежутков возрастания нет.

На отрезке \([-6,0]\) функция не определена при \(x=-1\). Кроме того, при приближении к \(-1\) слева \(f(x)\to-\infty\), а справа \(f(x)\to+\infty\). Поэтому на всём отрезке функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Для решения \(f(x)\ge0\) рассмотрим критические точки \(-1\) и \(8\). Знаки дроби дают решение \((-1,8]\).

Ответ: \(D(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}\); нуль — \(8\); убывает на \((-\infty,-1)\) и \((-1,+\infty)\); на \([-6,0]\) наибольшего и наименьшего значений нет; \(f(x)\ge0\) при \(x\in(-1,8]\).