№4. Доказать тождество: а) sin⁴ α + 2 cos² α − cos⁴ α = 1; б) (1 + tg α)/(1 + ctg α) = tg α.

а) Преобразуем левую часть, используя разность квадратов:

sin⁴ α + 2 cos² α − cos⁴ α = (sin² α − cos² α)(sin² α + cos² α) + 2 cos² α.

Так как sin² α + cos² α = 1, получаем sin² α − cos² α + 2 cos² α = sin² α + cos² α = 1. Тождество доказано.

б) При допустимых значениях α, когда выражение определено, ctg α = 1/tg α. Поэтому

(1 + tg α)/(1 + ctg α) = (1 + tg α)/(1 + 1/tg α) = (1 + tg α)/((tg α + 1)/tg α) = tg α.

Здесь необходимо, чтобы tg α существовал, tg α ≠ 0 и 1 + ctg α ≠ 0. Тождество доказано на общей области определения обеих частей.