4. Докажать тождество: \(\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right):\dfrac{y^2+6}{y^3-9y}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

Область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому \(y\ne -3,0,3\).

1. Разложим знаменатели на множители: \(y^2+6y+9=(y+3)^2\), \(y^2+3y=y(y+3)\), \(y^3-9y=y(y-3)(y+3)\).
2. Вычтем дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю:

   \(\dfrac{2y+1}{(y+3)^2}-\dfrac{y-2}{y(y+3)}=\dfrac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\).

3. Выполним деление на дробь:

   \(\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\dfrac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменной, следовательно, тождество доказано.