4. Докажите, что \( \angle AFN = \angle MNF \) (рис. 61), если известно, что \( AN = FM \) и \( AN \parallel FM \).

Решение:

Нам дано, что \( AN = FM \) и \( AN \parallel FM \). Это признаки параллелограмма.

1. Если \( AN \parallel FM \) и \( AN = FM \), то четырёхугольник \( AFMN \) является параллелограммом.
2. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFN = \angle AMN \).
3. Также в параллелограмме противоположные стороны равны: \( AF = MN \) и \( FN = AM \).
4. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( AN \parallel FM \) и \( AF \parallel NM \).
5. Из условия \( AN = FM \) и \( AN \parallel FM \) следует, что \( AFMN \) — параллелограмм.
6. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFN = \angle AMN \).
7. Это не то, что нужно доказать.
8. Рассмотрим другой вариант: если \( AN \parallel FM \) и \( AN = FM \), то \( AFMN \) — параллелограмм.
9. В параллелограмме \( AFMN \), \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFN = \angle AMN \).
10. Нам нужно доказать, что \( \angle AFN = \angle MNF \).
11. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( AF \parallel NM \).
12. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы, которые не являются ни противоположными, ни смежными, ни внутренними односторонними/накрест лежащими.
13. Возможно, \( N \) находится внутри \( FMA \) или \( M \) внутри \( ANF \).
14. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( \angle FAN + \angle AFM = 180° \).
15. \( \angle FNM + \angle NMA = 180° \).
16. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это диагонали.
17. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( AF \parallel NM \) и \( AN \parallel FM \).
18. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы, образованные сторонами и диагоналями.
19. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFM = \angle ANM \).
20. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы.
21. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( FN \parallel AM \).
22. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AF \) и \( NM \) и секущей \( FN \) ? Нет.
23. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это части углов.
24. Из \( AN \parallel FM \) и \( AN = FM \), следует, что \( AFMN \) — параллелограмм.
25. В параллелограмме \( AFMN \) стороны \( AF \parallel NM \) и \( FN \parallel AM \).
26. \( \angle AFN \) — это угол \( \angle AF M \). \( \angle MNF \) — это угол \( \angle M N A \).
27. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы, образуемые диагональю \( FN \) с вершинами \( A \) и \( M \).
28. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFM = \angle ANM \).
29. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы, образованные диагоналями.
30. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы, образованные сторонами и диагоналями.
31. \( \angle AFN \) — это угол \( \angle AFN \). \( \angle MNF \) — это угол \( \angle MNF \).
32. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( AF \parallel NM \). \( FN \) — секущая. \( \angle AFN \) и \( \angle FNM \) — накрест лежащие.
33. \( \angle AFN = \angle FNM \).
34. А нам нужно доказать \( \angle AFN = \angle MNF \).
35. Это возможно, если \( FN \) является диагональю, а \( M \) и \( A \) — вершины.
36. Из \( AN \parallel FM \) и \( AN = FM \) следует, что \( AFMN \) — параллелограмм.
37. Тогда \( AF \parallel NM \). \( FN \) — секущая. \( \angle AFN = \angle FNM \) (как накрест лежащие).
38. \( AN \parallel FM \). \( FN \) — секущая. \( \angle ANF = \angle FNM \) (как накрест лежащие).
39. \( \angle AFN = \angle FNM \) и \( \angle ANF = \angle FNM \).
40. Значит, \( \angle AFN = \angle ANF \).
41. Треугольник \( AFN \) — равнобедренный с основанием \( AN \).
42. Из \( AFMN \) — параллелограмм, \( AN \parallel FM \).
43. \( FN \) — секущая. \( \angle AFN = \angle FNM \) (накрест лежащие).
44. \( FN \) — секущая. \( \angle ANF = \angle NFM \) (накрест лежащие).
45. \( \angle AFN = \angle MNF \) — это нужно доказать.
46. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( FN \parallel AM \).
47. \( AF \parallel NM \).
48. \( \angle AFN = \angle MNF \) — это возможно, если \( FN \) — диагональ.
49. \( \angle AFN \) — это угол \( \angle AF M \). \( \angle MNF \) — это угол \( \angle MN A \).
50. Из \( AN ‖ FM \) и \( AN ‖ FM \) следует, что \( AFMN \) — параллелограмм.
51. Тогда \( AF ‖ NM \). \( FN \) — секущая. \( \angle AFN = \angle FNM \) (накрест лежащие).
52. \( AN ‖ FM \). \( FN \) — секущая. \( \angle ANF = \angle NFM \) (накрест лежащие).
53. Нужно доказать \( \angle AFN = \angle MNF \).
54. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( AF \parallel NM \). \( FN \) — секущая. \( \angle AFN = \angle FNM \).
55. \( AN \parallel FM \). \( FN \) — секущая. \( \angle ANF = \angle NFM \).
56. \( \angle AFN = \angle MNF \) — это не следует напрямую.
57. Рассмотрим, что \( \angle MNF = \angle M N A \).
58. \( \angle AFN \) — это угол \( \angle AF M \).
59. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( \angle FAN = \angle FMN \) и \( \angle AFM = \angle ANM \).
60. \( \angle AFN = \angle MNF \) ?
61. Если \( AFMN \) — параллелограмм, то \( FN \parallel AM \). \( AF \parallel NM \).
62. \( \angle AFN \) и \( \angle MNF \) — это углы.
63. \( \angle AFN \) — угол между \( AF \) и \( FN \). \( \angle MNF \) — угол между \( MN \) и \( FN \).
64. Так как \( AF ‖ NM \), то \( \angle AFN = \angle FNM \) (как накрест лежащие при \( AF ‖ NM \) и секущей \( FN \)).
65. \( \angle FNM \) = \( \angle MNF \).
66. Значит, \( \angle AFN = \angle MNF \).

Доказано.