№ 5. В треугольнике ABC известно, что \(\angle B=90°\), \(\angle ACB=60°\), отрезок CD - биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD=5 см.

Решение:

1. В треугольнике ABC \(\angle B=90°\), \(\angle ACB=60°\). Тогда \(\angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30°\).
2. CD — биссектриса \(\angle ACB\). Следовательно, \(\angle BCD = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} 60° = 30°\).
3. Рассмотрим треугольник BCD.
4. Углы в треугольнике BCD: \(\angle CBD = 90°\), \(\angle BCD = 30°\).
5. Тогда \(\angle BDC = 180° - 90° - 30° = 60°\).
6. В треугольнике BCD катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Катет BD лежит против угла \(\angle BCD = 30°\).
8. Следовательно, \(BD = \frac{1}{2} BC\).
9. По условию \(BD=5\) см.
10. Тогда \(BC = 2 BD = 2 5 = 10\) см.
11. Теперь рассмотрим треугольник ABC.
12. Мы знаем \(BC = 10\) см и \(\angle ACB = 60°\).
13. Мы хотим найти катет AB, который лежит против угла \(\angle ACB = 60°\).
14. Используем тангенс угла: \(\operatorname{tg}(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}\).
15. \(\operatorname{tg}(60°) = \frac{AB}{10}\).
16. \(AB = 10 \operatorname{tg}(60°) = 10 \sqrt{3}\).

Ответ: \(10\sqrt{3}\) см.