4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(−1; −1), B(3; 0), C(4; 4), D(0; 3) является ромбом. Найдите его периметр.

Вычислим длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{17}\).

\(BC=\sqrt{(4-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{17}\).

\(CD=\sqrt{(0-4)^2+(3-4)^2}=\sqrt{17}\).

\(DA=\sqrt{((-1)-0)^2+((-1)-3)^2}=\sqrt{17}\).

Все четыре стороны равны, значит, ABCD — ромб. Его периметр:

\(P=4\sqrt{17}\).

Ответ: ABCD — ромб; \(P=4\sqrt{17}\).