4. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.

Пусть биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны. Обозначим половины этих углов через x и y. Угол между биссектрисами равен x + y, поэтому x + y = 90°. Тогда ∠ABC + ∠CBD = 2x + 2y = 180°.

Углы ABC и CBD — смежные, поскольку у них общая сторона BC, а остальные стороны BA и BD образуют развёрнутый угол. Значит, лучи BA и BD противоположны, поэтому точки A, B и D лежат на одной прямой.