4. Докажите, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\), \(BO=OD\).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и BOC. У них \(AO=OC\), сторона \(BO\) общая, а углы \(AOB\) и \(BOC\) равны как прямые.
3. Следовательно, треугольники равны по двум катетам.
4. Значит, \(AB=BC\).
5. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(BC=AD\). Поэтому \(AB=BC=CD=AD\).

Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.

Что и требовалось доказать.