4. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть ABCD — параллелограмм, у которого диагонали AC и BD равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них AB — общая сторона, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, а AC = BD по условию. Значит, треугольники равны по трём сторонам.

Следовательно, углы ABC и BAD равны. Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, поэтому равные соседние углы имеют величину 90°. Значит, параллелограмм имеет прямой угол, а тогда все его углы прямые.

Что и требовалось доказать.