4. Докажите, что многочлен $a^2+4ab+5b^2+2b+1$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что многочлен $a^2+4ab+5b^2+2b+1$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$.$ Фото задания

4. Докажите, что многочлен $a^2+4ab+5b^2+2b+1$ принимает положительные значения при любых значениях $a$ и $b$.

Accepted Answer

Преобразуем многочлен, выделив квадраты:

$a^2+4ab+5b^2+2b+1=(a+2b)^2+b^2+2b+1=(a+2b)^2+(b+1)^2$.

Оба квадрата неотрицательны, поэтому их сумма неотрицательна. Равенство нулю возможно только при $a+2b=0$ и $b+1=0$, то есть при $b=-1$, $a=2$. Следовательно, строго положительным это выражение не является для любых $a,b$: при $a=2$, $b=-1$ оно равно нулю.

Ответ: утверждение в напечатанном виде неверно; многочлен принимает неотрицательные значения и равен нулю при $a=2$, $b=-1$.

4. Докажите, что многочлен \(a^2+4ab+5b^2+2b+1\) принимает положительные значения при любых значениях \(a\) и \(b\).

Ответ: