4. Докажите, что многочлен a² + 4ab + 5b² + 2b + 1 при любых значениях a и b принимает неотрицательные значения.

Преобразуем многочлен, выделив квадраты:

\[a^2+4ab+5b^2+2b+1=(a+2b)^2+b^2+2b+1=(a+2b)^2+(b+1)^2.\]

Каждый квадрат неотрицателен, поэтому их сумма также неотрицательна.

Ответ: многочлен принимает неотрицательные значения при любых a и b.