4. Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.

Пусть параллелограмм имеет стороны длиной \(a\) и \(b\), а один его угол равен \(\alpha\).

1. Если все углы параллелограмма равны, то каждый из них равен \(360^\circ:4=90^\circ\). Следовательно, параллелограмм является прямоугольником.
2. Обозначим векторы двух соседних сторон через \(\vec u\) и \(\vec v\). Направляющие векторы диагоналей можно записать как \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\). Их скалярное произведение равно \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^2-|\vec v|^2\).
3. Диагонали перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю. Поэтому \(|\vec u|^2=|\vec v|^2\), откуда \(a=b\).
4. Итак, параллелограмм одновременно является прямоугольником и ромбом. Такой параллелограмм — квадрат.

Что и требовалось доказать.