№ 4. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его сторона образует с диагоналями углы, сумма которых равна 90°.

Обозначим параллелограмм \(ABCD\), а точку пересечения его диагоналей — \(O\). Рассмотрим треугольник \(AOB\).

1. Угол между стороной AB и диагональю AC — это угол \(OAB\); угол между стороной AB и диагональю BD — это угол \(ABO\).
2. По условию сумма этих углов равна \(90°\). Тогда третий угол треугольника равен \(\angle AOB=180°-90°=90°\). Следовательно, диагонали параллелограмма перпендикулярны.
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому в треугольнике \(AOB\) отрезки \(AO\) и \(BO\) — половины диагоналей, а угол между ними прямой. Треугольники, составленные из половин диагоналей и сторон параллелограмма, показывают, что его соседние стороны равны; значит, все четыре стороны равны.

Следовательно, параллелограмм является ромбом.