4. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения не зависит от $a$: $\frac{2a}{4+a}+(4-a)^2\left(\frac{3}{16-8a+a^2}+\frac{1}{16-a^2}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения не зависит от $a$:…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $16-8a+a^2=(4-a)^2$, $16-a^2=(4-a)(4+a)$. Допустимые значения: $a\ne -4$ и $a\ne4$.

Упростим выражение:

$\frac{2a}{4+a}+(4-a)^2\left(\frac{3}{(4-a)^2}+\frac{1}{(4-a)(4+a)}\right)$

$=\frac{2a}{4+a}+3+\frac{4-a}{4+a}$

$=3+\frac{2a+4-a}{4+a}=3+\frac{a+4}{a+4}=4$.

Получили постоянное значение, не зависящее от $a$, для всех допустимых значений переменной.

Ответ: выражение равно 4.

4. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения не зависит от \(a\): \(\frac{2a}{4+a}+(4-a)^2\left(\frac{3}{16-8a+a^2}+\frac{1}{16-a^2}\right)\).