4. Докажите, что при всех допустимых значениях $x$ значение выражения $\left(\frac{3}{4-x^2}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\cdot\frac{(2-x)^2}{2}+\frac{2(x-1)}{2+x}$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что при всех допустимых значениях $x$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $4-x^2=(2-x)(2+x)$, $x^2-4x+4=(2-x)^2$. Допустимые значения: $x\ne2$ и $x\ne-2$.

Упростим выражение в скобках и умножим на $\frac{(2-x)^2}{2}$:

$\left(\frac{3}{(2-x)(2+x)}+\frac{1}{(2-x)^2}\right)\cdot\frac{(2-x)^2}{2}=\frac{3(2-x)+(2+x)}{2(2+x)}=\frac{4-x}{2+x}$.

Теперь прибавим оставшуюся дробь:

$\frac{4-x}{2+x}+\frac{2(x-1)}{2+x}=\frac{4-x+2x-2}{2+x}=\frac{x+2}{x+2}=1$.

Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ выражение постоянно.

Ответ: значение выражения не зависит от $x$ и равно 1.

4. Докажите, что при всех допустимых значениях \(x\) значение выражения \(\left(\frac{3}{4-x^2}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\cdot\frac{(2-x)^2}{2}+\frac{2(x-1)}{2+x}\) не зависит от \(x\).