4. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm2$ значение выражения $\frac{2}{b+2}+\frac{(b-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{b^2-4}-\frac{1}{b^2-4b+4}\right)$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители, учитывая, что $b\ne2$ и $b\ne-2$:

\[\frac{1}{b^2-4}-\frac{1}{b^2-4b+4}=\frac{1}{(b-2)(b+2)}-\frac{1}{(b-2)^2}.\]

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

\[\frac{(b-2)-(b+2)}{(b-2)^2(b+2)}=\frac{-4}{(b-2)^2(b+2)}.\]

Подставим результат в исходное выражение и сократим:

\[\frac{2}{b+2}+\frac{(b-2)^2}{2}\cdot\frac{-4}{(b-2)^2(b+2)}=\frac{2}{b+2}-\frac{2}{b+2}=0.\]

Полученное значение постоянно и не зависит от $b$.

4. Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{2}{b+2}+\frac{(b-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{b^2-4}-\frac{1}{b^2-4b+4}\right)\) не зависит от \(b\).