4. Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным, если A(-1; 5; 3), B(-1; -3; 9), C(3; -2; 6).

Найдём два вектора, выходящих из вершины C:

\(\overrightarrow{CA}=A-C=(-4;\ 7;\ -3)\), \(\overrightarrow{CB}=B-C=(-4;\ -1;\ 3)\).

Их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)(-4)+7(-1)+(-3)3=16-7-9=0\).

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) перпендикулярны. Следовательно, угол ACB прямой.

Ответ: треугольник ABC прямоугольный при вершине C.