4. Докажите, что выражение (a² − 3)/(a − 2)⁴ − (5a − 1)/(a − 2)⁴ + (a + 6)/(a − 2)⁴ при всех a ≠ 2 принимает положительные значения.

Приведём числитель к упрощённому виду:

\(\frac{a^2-3-(5a-1)+(a+6)}{(a-2)^4}=\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4}=\frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}=\frac{1}{(a-2)^2}\).

При \(a\ne2\) квадрат \((a-2)^2\) положителен, поэтому и его обратная величина положительна.

Следовательно, выражение положительно при всех \(a\ne2\).