№4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: \(\left(\frac{2a+6}{a^2-1}-\frac{2}{a^2+a}\right):\frac{2a+2}{a^2-a}\).

Ограничения исходного выражения: \(a\ne-1,0,1\).

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

\(\frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)}-\frac{2}{a(a+1)}=\frac{2a(a+3)-2(a-1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2(a+1)^2}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2(a+1)}{a(a-1)}\).

Делитель равен \(\frac{2a+2}{a^2-a}=\frac{2(a+1)}{a(a-1)}\). Следовательно, исходное выражение равно \(1\) при всех допустимых значениях \(a\), то есть не зависит от переменной.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 1.