Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Докажите неравенство: 1) a²-8a+ 17 > 0; 2) 6y-9y²-4 < 0; 3) a(a-10) > 4(a – 13); 4) x² +9y² + 2x + 6y + 2 ≥ 0; 5) x² - 6xy…Фото задания

Ответ:

Задание 4. Доказательство неравенств

1. Докажем неравенство: a² - 8a + 17 > 0

  1. Выделим полный квадрат из левой части:

\[ a^2 - 8a + 17 = (a^2 - 8a + 16) + 1 = (a - 4)^2 + 1 \]

  1. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то (a - 4)² ≥ 0.
  2. Следовательно, (a - 4)² + 1 ≥ 1.
  3. Так как 1 > 0, то (a - 4)² + 1 > 0.

Неравенство доказано.

2. Докажем неравенство: 6y - 9y² - 4 < 0

  1. Перепишем неравенство в стандартном виде, умножив на -1 и изменив знак:

\[ 9y^2 - 6y + 4 > 0 \]

  1. Выделим полный квадрат из левой части:

\[ 9y^2 - 6y + 4 = (9y^2 - 6y + 1) + 3 = (3y - 1)^2 + 3 \]

  1. Так как (3y - 1)² ≥ 0, то (3y - 1)² + 3 ≥ 3.
  2. Так как 3 > 0, то (3y - 1)² + 3 > 0.
  3. Следовательно, исходное неравенство 6y - 9y² - 4 < 0 верно.

Неравенство доказано.

3. Докажем неравенство: a(a - 10) > 4(a – 13)

  1. Раскроем скобки:

\[ a^2 - 10a > 4a - 52 \]

  1. Перенесём все члены в левую часть:

\[ a^2 - 10a - 4a + 52 > 0 \]

\[ a^2 - 14a + 52 > 0 \]

  1. Выделим полный квадрат:

\[ a^2 - 14a + 52 = (a^2 - 14a + 49) + 3 = (a - 7)^2 + 3 \]

  1. Так как (a - 7)² ≥ 0, то (a - 7)² + 3 ≥ 3.
  2. Так как 3 > 0, то (a - 7)² + 3 > 0.

Неравенство доказано.

4. Докажем неравенство: x² + 9y² + 2x + 6y + 2 ≥ 0

  1. Сгруппируем члены и выделим полные квадраты:

\[ (x^2 + 2x) + (9y^2 + 6y) + 2 \]

\[ (x^2 + 2x + 1) - 1 + (9y^2 + 6y + 1) - 1 + 2 \]

\[ (x + 1)^2 - 1 + (3y + 1)^2 - 1 + 2 \]

\[ (x + 1)^2 + (3y + 1)^2 \]

  1. Так как (x + 1)² ≥ 0 и (3y + 1)² ≥ 0, то их сумма (x + 1)² + (3y + 1)² ≥ 0.

Неравенство доказано.

5. Докажем неравенство: x² - 6xy + 10y² - 4y + 7 > 0

  1. Сгруппируем члены и выделим полные квадраты:

\[ (x^2 - 6xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) + 3 \]

\[ (x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3 \]

  1. Так как (x - 3y)² ≥ 0 и (y - 2)² ≥ 0, то (x - 3y)² + (y - 2)² ≥ 0.
  2. Следовательно, (x - 3y)² + (y - 2)² + 3 ≥ 3.
  3. Так как 3 > 0, то (x - 3y)² + (y - 2)² + 3 > 0.

Неравенство доказано.

6. Докажем неравенство: \(\frac{x² + 7}{√{x²+6}}\) ≥ 2

  1. Рассмотрим функцию f(t) = \(\frac{t + 7}{√{t+6}}\), где t = x². Так как x² ≥ 0, то t ≥ 0.
  2. Перепишем неравенство, умножив обе части на √{x²+6} (поскольку оно всегда положительно):

\[ x^2 + 7 ≥ 2√{x^2+6} \]

  1. Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 + 7 - 2√{x^2+6} ≥ 0 \]

  1. Сделаем замену: пусть u = √{x²+6}. Тогда u² = x² + 6, и x² = u² - 6.
  2. Подставим в неравенство:

\[ (u^2 - 6) + 7 - 2u ≥ 0 \]

\[ u^2 - 2u + 1 ≥ 0 \]

  1. Это неравенство является квадратом разности:

\[ (u - 1)^2 ≥ 0 \]

  1. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому данное неравенство верно.

Неравенство доказано.