Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Докажите, что: 1) (x+1/y)(y+1/x)≥4, если x > 0, y > 0; 2) (x+1)(y+2)(z+8) ≥ 32√xyz, если x≥ 0, y ≥0, z≥0,Фото задания

Ответ:

Задание 6. Доказательство неравенств

1. Докажем, что \(x + \frac{1}{y}\)\(y + \frac{1}{x}\) ≥ 4, если x > 0 и y > 0.

  1. Раскроем скобки:

\[ xy + x · \frac{1}{x} + \frac{1}{y} · y + \frac{1}{y} · \frac{1}{x} \]

\[ xy + 1 + 1 + \frac{1}{xy} \]

\[ xy + 2 + \frac{1}{xy} \]

  1. Рассмотрим выражение xy + \(\frac{1}{xy}\). По неравенству о средних, для положительных чисел xy и \(\frac{1}{xy}\):

\[ xy + \frac{1}{xy} ≥ 2√{xy · \frac{1}{xy}} \]

\[ xy + \frac{1}{xy} ≥ 2√{1} \]

\[ xy + \frac{1}{xy} ≥ 2 \]

  1. Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ (xy + \frac{1}{xy}) + 2 ≥ 2 + 2 \]

\[ xy + 2 + \frac{1}{xy} ≥ 4 \]

Утверждение доказано.

2. Докажем, что (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ 32√{xyz}, если x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом для каждой из скобок:

  1. Для первой скобки (x + 1):

\[ x + 1 ≥ 2√{x · 1} = 2√{x} \]

  1. Для второй скобки (y + 2):

\[ y + 2 ≥ 2√{y · 2} = 2√{2y} \]

  1. Для третьей скобки (z + 8):

\[ z + 8 ≥ 2√{z · 8} = 2√{8z} = 2 · 2√{2z} = 4√{2z} \]

  1. Перемножим полученные неравенства (все части неотрицательны):

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ (2√{x}) (2√{2y}) (4√{2z}) \]

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ (2 · 2 · 4) (√{x} · √{2y} · √{2z}) \]

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ 16 √{x · 2y · 2z} \]

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ 16 √{4xyz} \]

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ 16 · 2 √{xyz} \]

\[ (x + 1)(y + 2)(z + 8) ≥ 32√{xyz} \]

Утверждение доказано.