5. Докажите, что: 1) x²(x - y) ≥ y²(x - y), если х≥0 и у≥ 0; 2) x³-4x² + 8x - 32≥0, если х≥ 4.

Задание 5. Доказательство утверждений

1. Докажем, что x²(x - y) ≥ y²(x - y), если x ≥ 0 и y ≥ 0.

1. Перенесём все члены в левую часть:

2. Вынесем общий множитель (x - y):

3. Разложим разность квадратов x² - y²:

4. Рассмотрим множители:

• (x - y)² всегда неотрицателен (больше или равен нулю), так как это квадрат любого числа.
• (x + y), так как x ≥ 0 и y ≥ 0, то x + y ≥ 0.

5. Произведение неотрицательного числа (x - y)² и неотрицательного числа (x + y) всегда неотрицательно.

Утверждение доказано.

2. Докажем, что x³ - 4x² + 8x - 32 ≥ 0, если x ≥ 4.

1. Сгруппируем члены:

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

3. Вынесем общий множитель (x - 4):

4. Рассмотрим множители при условии x ≥ 4:

• (x - 4): так как x ≥ 4, то x - 4 ≥ 0.
• (x² + 8): так как x² ≥ 0, то x² + 8 ≥ 8, то есть всегда положительно.

5. Произведение неотрицательного числа (x - 4) и положительного числа (x² + 8) всегда неотрицательно.

Утверждение доказано.