№ 4. Докажите неравенство \((2a-5)(2a+5)<(2a+5)^2-20a\).

Раскроем скобки в обеих частях:

\((2a-5)(2a+5)=4a^2-25\), поскольку \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\).

\((2a+5)^2-20a=4a^2+20a+25-20a=4a^2+25\).

Итак, требуется доказать \(4a^2-25<4a^2+25\). Вычитая \(4a^2\) из обеих частей, получаем \(-25<25\), что верно при любом \(a\).

Неравенство доказано для всех действительных значений \(a\).