4. Докажите тождество 1 + ctg² α + 1/cos² α = 1/(sin² α · cos² α).

Левая часть определена при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0. Используем тождество 1 + ctg² α = 1/sin² α:

1 + ctg² α + 1/cos² α = 1/sin² α + 1/cos² α.

Приведём дроби к общему знаменателю:

1/sin² α + 1/cos² α = (cos² α + sin² α)/(sin² α · cos² α).

По основному тригонометрическому тождеству sin² α + cos² α = 1, поэтому получаем 1/(sin² α · cos² α), что совпадает с правой частью. Тождество доказано.