Решить неравенство ctg(x/3 + 2π/3) ≤ −1.

Пусть t = x/3 + 2π/3. Функция ctg t строго убывает на каждом интервале (kπ; (k+1)π), где k ∈ ℤ. На таком интервале ctg t ≤ −1 при t ∈ [3π/4 + kπ; π + kπ); конец t = π + kπ исключён из области определения.

Решим полученное двойное неравенство:

3π/4 + kπ ≤ x/3 + 2π/3 < π + kπ.

Вычитая 2π/3 и умножая на 3, получаем π/4 + 3kπ ≤ x < π + 3kπ.

Ответ: x ∈ [π/4 + 3kπ; π + 3kπ), k ∈ ℤ.