4. Докажите тождество: 1/[x(x + 2)] + 1/[(x + 2)(x + 4)] + 1/[(x + 4)(x + 6)] + 1/[(x + 6)(x + 8)] = 4/[x(x + 8)].

Используем разложение \(\frac{1}{u(u+2)}=\frac12\left(\frac1u-\frac1{u+2}\right)\):

\[\begin{aligned}\frac1{x(x+2)}+\frac1{(x+2)(x+4)}+\frac1{(x+4)(x+6)}+\frac1{(x+6)(x+8)} &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+2}+\frac1{x+2}-\frac1{x+4}+\frac1{x+4}-\frac1{x+6}+\frac1{x+6}-\frac1{x+8}\right)\\ &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+8}\right)=\frac{4}{x(x+8)}.\end{aligned}\]

Промежуточные слагаемые сокращаются попарно, поэтому обе части равны. Область допустимых значений исходного выражения: \(x\ne0,-2,-4,-6,-8\).