№4. Докажите тождество: а) sin⁴ α + 2 cos² α − cos⁴ α = 1; б) (1 + tg α)/(1 + ctg α) = tg α.

\(\sin^4\alpha+2\cos^2\alpha-\cos^4\alpha=(1-\cos^2\alpha)^2+2\cos^2\alpha-\cos^4\alpha\).

Раскрываем квадрат: \(1-2\cos^2\alpha+\cos^4\alpha+2\cos^2\alpha-\cos^4\alpha=1\). Тождество доказано.

\(\frac{1+\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{ctg}\alpha}=\frac{1+t}{1+1/t}=\frac{1+t}{(t+1)/t}=t=\operatorname{tg}\alpha\).

Преобразование допустимо при \(t\ne0\) и \(t\ne-1\), что соответствует области определения исходной дроби. Тождество доказано.