4. Докажите тождество: $\frac{0{,}25a^6-16}{0{,}2a^3-25}\cdot\frac{0{,}2a^2+a+5}{0{,}25a^4+a^2+4}\cdot\frac{a-5}{a^2-4}=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите тождество: $\frac{0{,}25a^6-16}{0{,}2a^3-25}\cdot\frac{0{,}2a^2+a+5}{0{,}25a^4+a^2+4}\cdot\frac{a-5}{a^2-4}=1$.$ Фото задания

4. Докажите тождество: $\frac{0{,}25a^6-16}{0{,}2a^3-25}\cdot\frac{0{,}2a^2+a+5}{0{,}25a^4+a^2+4}\cdot\frac{a-5}{a^2-4}=1$.

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатели на множители. Десятичные коэффициенты запишем обычными дробями:

$0.25a^6-16=\frac14(a^6-64)=\frac14(a-2)(a+2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)$.

$0.2a^3-25=\frac15(a^3-125)=\frac15(a-5)(a^2+5a+25)$.

$0.2a^2+a+5=\frac15(a^2+5a+25)$, а $0.25a^4+a^2+4=\frac14(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)$.

Подставим разложения в исходное выражение и сократим общие множители:

$\frac{\frac14(a-2)(a+2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}{\frac15(a-5)(a^2+5a+25)}\cdot\frac{\frac15(a^2+5a+25)}{\frac14(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}\cdot\frac{a-5}{(a-2)(a+2)}=1$.

Сокращение допустимо при ненулевых исходных знаменателях: $a\ne-2,2,5$. Следовательно, выражение равно 1 при всех допустимых значениях переменной.

4. Докажите тождество: \(\frac{0{,}25a^6-16}{0{,}2a^3-25}\cdot\frac{0{,}2a^2+a+5}{0{,}25a^4+a^2+4}\cdot\frac{a-5}{a^2-4}=1\).

Ответ: