№4. Докажите тождество: $\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}+\frac{x+y}{y}=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №4. Докажите тождество: $\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}+\frac{x+y}{y}=1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x+y\ne0$, $x-y\ne0$, $y\ne0$.

Приведём числитель и знаменатель сложной дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=\frac{2x}{x^2-y^2}$, а $\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=\frac{-2y}{x^2-y^2}$.

Поэтому сложная дробь равна $\frac{2x}{x^2-y^2}:\frac{-2y}{x^2-y^2}=-\frac{x}{y}$.

Подставим результат в левую часть:

$-\frac{x}{y}+\frac{x+y}{y}=\frac{-x+x+y}{y}=1$.

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменных; тождество доказано.

№4. Докажите тождество: \(\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}+\frac{x+y}{y}=1\).