4. Докажите тождество: \(\left(\frac{x}{x-a}-\frac{a}{x+a}\right):\left(\frac{x+a}{a}-\frac{x-a}{x}\right)=\frac{ax}{x^2-a^2}\).

Преобразуем каждую скобку, учитывая, что знаменатели не равны нулю:

\(\frac{x}{x-a}-\frac{a}{x+a}=\frac{x(x+a)-a(x-a)}{x^2-a^2}=\frac{x^2+a^2}{x^2-a^2}\).

\(\frac{x+a}{a}-\frac{x-a}{x}=\frac{x(x+a)-a(x-a)}{ax}=\frac{x^2+a^2}{ax}\).

Делим первое выражение на второе:

\(\frac{x^2+a^2}{x^2-a^2}:\frac{x^2+a^2}{ax}=\frac{ax}{x^2-a^2}\).

Получено выражение правой части, следовательно, тождество доказано.