4. Докажите тождество: ((x² − 10x + 25)/(x² − 25))³ : ((x − 5)/(x + 5))³ = 1.

Область допустимых значений исходного выражения: \(x\ne5\) и \(x\ne-5\). Разложим многочлены на множители:

\(\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}=\frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}=\frac{x-5}{x+5}\).

Подставляем это выражение в левую часть:

\(\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3:\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3=1\), поскольку делимое и делитель равны и не равны нулю в области допустимых значений.

Тождество доказано при \(x\ne\pm5\).