Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Процесс нагревания газа в цилиндре под поршнем, когда давление остаётся постоянным (так как поршень может свободно перемещаться, уравновешивая атмосферное давление и вес поршня), является изобарным процессом.
Давление газа \( p \) равно сумме атмосферного давления \( p_{атм} \) и давления, создаваемого весом поршня \( p_{поршня} \):
\( p = p_{атм} + p_{поршня} \)
Давление, создаваемое весом поршня:
\( p_{поршня} = \frac{m_{поршня} \cdot g}{S} \)
где \( m_{поршня} = 5 \text{ кг} \) — масса поршня, \( g \) — ускорение свободного падения (примем \( g = 10 \text{ м/с}^2 \) для простоты расчёта, или \( g=9.8 \text{ м/с}^2 \) для большей точности), \( S \) — площадь поршня.
Общее давление газа \( p = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} + \frac{5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{S} = 100000 + \frac{49}{S} \text{ Па} \).
Газ нагревался, и поршень поднялся на \( \Delta h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} \).
Начальный объём газа \( V_1 \), конечный объём \( V_2 \).
\( V_1 = S \cdot h_1 \)
\( V_2 = S \cdot h_2 = S \cdot (h_1 + \Delta h) \)
Температура газа повысилась на \( \Delta T = 16 \text{ К} \).
Согласно закону Гей-Люссака (изобарный процесс):
\( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \)
\( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_1 + S \cdot \Delta h}{T_1 + \Delta T} \)
\( V_1 (T_1 + \Delta T) = T_1 (V_1 + S \cdot \Delta h) \)
\( V_1 T_1 + V_1 \Delta T = V_1 T_1 + T_1 S \cdot \Delta h \)
\( V_1 \Delta T = T_1 S \cdot \Delta h \)
\( S \cdot h_1 \cdot \Delta T = T_1 S \cdot \Delta h \)
\( h_1 \cdot \Delta T = T_1 \cdot \Delta h \)
\( T_1 = \frac{h_1 \cdot \Delta T}{\Delta h} \)
Также, из уравнения состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона):
\( p V = \nu R T \)
Для начального состояния:
\( p V_1 = \nu R T_1 \) \( \Rightarrow \) \( T_1 = \frac{p V_1}{\nu R} = \frac{(100000 + \frac{49}{S}) S h_1}{\nu R} \)
Подставим \( T_1 \) в это уравнение:
\( \frac{(100000 + \frac{49}{S}) S h_1}{\nu R} = \frac{h_1 \cdot \Delta T}{\Delta h} \)
\( \frac{(100000 S + 49) h_1}{\nu R} = \frac{h_1 \cdot \Delta T}{\Delta h} \)
\( \frac{100000 S + 49}{\nu R} = \frac{\Delta T}{\Delta h} \)
\( 100000 S + 49 = \frac{\Delta T}{\Delta h} \cdot \nu R \)
\( 100000 S + 49 = \frac{16 \text{ К}}{0.04 \text{ м}} \cdot 0.09 \text{ моль} \cdot 8.314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \)
\( 100000 S + 49 = 400 \text{ м}^{-1} \cdot 0.09 \text{ моль} \cdot 8.314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \)
\( 100000 S + 49 = 36 \cdot 8.314 \text{ Дж/м} \)
\( 100000 S + 49 = 299.304 \text{ Н} \) (так как Дж/м = Н)
\( 100000 S = 299.304 - 49 = 250.304 \text{ Н} \)
\( S = \frac{250.304}{100000} \text{ м}^2 = 0.00250304 \text{ м}^2 \)
Переведём в см²:
\( S = 0.00250304 \text{ м}^2 \cdot 10000 \text{ см}^2/\text{м}^2 = 25.0304 \text{ см}^2 \).
Ответ: Площадь поршня примерно 25.03 см².
