4. Исключите иррациональность в знаменателе: 1) 2/(2−√3); 2) 2/(2+√3); 3) 2/(√5−√6); 4) 2/(√5+√6); 5) 2/(√a+√x). 1) 2/(√11−3) − 7/(√11−2); 2) 3/(√7−2) − 2/(√7+2) − 2√7. 3) a/(∛a−∛x); 4) (x−y)/√(x+y); 5) (1−a)/√(1−√a); 6) (x+y)/√(x−y). 1) 12/(3+√2−√3); 2) a/√(√2+∛3); 3) 1/(√2+⁴√3); 4) 47/(2√3−⁴√3).

Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение либо на множитель, который превращает знаменатель в рациональное число.

1. 2/(2−√3) = 2(2+√3)/(4−3) = 4 + 2√3.
2. 2/(2+√3) = 2(2−√3)/(4−3) = 4 − 2√3.
3. 2/(√5−√6) = 2(√5+√6)/(5−6) = −2√5 − 2√6.
4. 2/(√5+√6) = 2(√5−√6)/(5−6) = 2√6 − 2√5.
5. 2/(√a+√x) = 2(√a−√x)/(a−x).
6. 2/(√11−3) − 7/(√11−2) = (√11+3) − (√11+2) = 1.
7. 3/(√7−2) − 2/(√7+2) − 2√7 = (√7+2) − 2(√7−2)/3 − 2√7 = (10−5√7)/3.
8. a/(∛a−∛x) = a(∛(a²) + ∛(ax) + ∛(x²))/(a−x).
9. (x−y)/√(x+y) = (x−y)√(x+y)/(x+y).
10. (1−a)/√(1−√a) = (1+√a)√(1−√a).
11. (x+y)/√(x−y) = (x+y)√(x−y)/(x−y).
12. Домножим на √(2)+√3 и затем на 8−6√2: 12/(3+√2−√3) = −18 + 15√2 − 12√3 + 9√6.
13. Обозначим t = √2 + ∛3. Тогда a/√t = a√t/t. Домножая на (√2−∛3)(4+2∛3+∛9), получаем рациональный знаменатель −1. Результат: −a√(√2+∛3)(√2−∛3)(4+2∛3+∛9).
14. 1/(√2+⁴√3) = (√2−⁴√3)(2+√3), поскольку (2−√3)(2+√3) = 1.
15. 47/(2√3−⁴√3) = 47(2√3+⁴√3)(12+√3)/141 = ((2√3+⁴√3)(12+√3))/3.