4. Используя результаты вычислений в задании 3а, постройте график функции \(y=x^2+4x+1\). Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых \(f(x)>0\); б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Выделим полный квадрат: \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\). Значит, вершина параболы — \((-2;-3)\), как получено в задании 3а, а ось симметрии — \(x=-2\). Ветви направлены вверх.

Нули функции найдём из уравнения \((x+2)^2-3=0\): \((x+2)^2=3\), поэтому \(x=-2\pm\sqrt{3}\).

1. а) Нули функции: \(x=-2-\sqrt{3}\) и \(x=-2+\sqrt{3}\). Парабола направлена вверх, поэтому \(f(x)>0\) вне промежутка между нулями: \((−\infty;−2−\sqrt{3})\cup(−2+\sqrt{3};+\infty)\).
2. б) До вершины функция убывает, после вершины возрастает: убывает на \((−\infty;−2]\), возрастает на \([−2;+\infty)\). Наименьшее значение функции равно \(-3\) и достигается при \(x=-2\).

Ответ: нули — \(-2\pm\sqrt{3}\); \(f(x)>0\) при \(x\in(−\infty;−2−\sqrt{3})\cup(−2+\sqrt{3};+\infty)\); убывает на \((−\infty;−2]\), возрастает на \([−2;+\infty)\); наименьшее значение — \(-3\).