4. Исследовать функцию и схематично построить её график: \(y=x^4-2x^2-3\).

Функция чётная, так как \(f(-x)=f(x)\); график симметричен относительно оси \(Oy\). Область определения — все действительные числа.

Нули найдём разложением:

\(x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)\), откуда действительные корни \(x=\pm\sqrt{3}\). Пересечение с осью \(Oy\): \(f(0)=-3\).

Производная \(f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\). Критические точки: \(-1,0,1\). По знаку производной функция убывает на \((-;-1)\), возрастает на \((-1;0)\), убывает на \((0;1)\), возрастает на \((1;+)\).

Значения в критических точках: \(f(-1)=f(1)=-4\) — минимумы; \(f(0)=-3\) — локальный максимум. При \(x\to\pm\infty\) функция стремится к \(+\infty\).

Схематический график с отмеченными нулями и экстремумами: