4. Исследуйте функцию и постройте её график: y = −x³ + 3x + 2.

Область определения — все действительные числа. Разложим многочлен: \(y=-(x-2)(x+1)^2\). Нули функции: \(x=-1\) и \(x=2\); пересечение с осью \(Oy\): \((0;2)\).

Производная \(y'=3(1-x^2)\). Поэтому функция убывает на \((−\infty;−1)\), возрастает на \((-1;1)\) и убывает на \((1;+\infty)\). \(y(-1)=0\) — минимум, \(y(1)=4\) — максимум.

Вторая производная \(y''=-6x\), поэтому точка перегиба — \((0;2)\). При \(x<0\) график выпуклостью направлен вверх, при \(x>0\) — вниз. Так как старший член равен \(-x^3\), при \(x\to-\infty\) функция стремится к \(+\infty\), а при \(x\to+\infty\) — к \(-\infty\).